Menu Content/Inhalt
Úvod arrow Články arrow Rotačné plochy v Staroveku

Prihlásenie






Zabudli ste heslo?

Kto je pripojený?

Štatistika stránky

Členov: 834
Správ: 326
Odkazov na stránky: 29
Návštevníkov: 2022719
ZÁKLADNÉ ŠKOLY
STREDNÉ ŠKOLY
VYSOKÉ ŠKOLY
Rotačné plochy v Staroveku Tlačiť Email
Napísal Administrator   

Egypt

Egyptská civilizácia patrí medzi najstaršie. Jej vývoj bol dlhé storočia ovplyvňovaný teplým podnebím, púšťou a záplavami Nílu. Práve vymeriavanie pozemkov, ktoré boli každoročne zaplavované Nílom, viedlo k potrebám geometrie ( – zem, metrein – merať) a k prvým geometrickým výpočtom egyptskej matematiky.
Najstaršie zachované matematické texty sú Londýnsky papyrus (Rhindov), Moskovský papyrus (Goleniščevov), Káhúnske papyrusy, drevené tabuľky nájdené v Achmíme, kožený zvitok uložený v Britskom múzeu a Berlínsky papyrus. Ich samotná existencia svedčí o tom, že už 2000 rokov pred n. l. bola v Egypte matematika samostatnou vednou disciplínou zahrňujúcou počítanie s prirodzenými číslami a zlomkami, hľadanie neznámeho množstva, výpočty obsahov rovinných útvarov a objemov telies, výpočet veľkosti uhlov, dĺžok a podobne [H-Vymazalová, 2006].

Úlohy o obsahu kruhu sú uvedené na Londýnskom papyruse. Egypťania počítali obsah kruhu S pomocou vzorca:

kde d je priemer kruhu. Ak tento vzťah porovnáme s aktuálne používaným vzorcom na výpočet obsahu kruhu dostaneme „egyptskú hodnotu“ čísla π:

Egypťania teda nahradili obsah kruhu obsahom štvorca, ktorého strana je priemer kruhu zmenšený o devätinu dĺžky jeho strany.

Objem valca sa (implicitne) vyskytuje v úlohách s praktickou tematikou, lebo sa nehovorí o valcoch ako takých, ale o kruhových obilniciach/sýpkach (Obr.1).


Obr. 1:
Obrázok znázorňujúci odoberanie zrna zo sýpky (Nikausesiho hrobka v Sakkare, 6. dynastia [H-Vymazalová, 2006])

Na výpočet objemu používali štandardný postup – obsah kruhovej podstavy vynásobili výškou. Zaujímavé je, že v zachovaných textoch nenájdeme úlohy na obvod kruhu a iba jednu úlohu, ktorú možno interpretovať ako výpočet štvrtiny plášťa valca s daným priemerom a výškou. Taktiež nevieme ako a či vôbec, Egypťania počítali objem a povrch kužeľa a gule, resp. iných rotačných telies.

Mezopotámia

V starovekej Mezopotámií, území medzi Eufratom a Tigrisom, dosiahla matematika vysoký stupeň rozvoja už 2000 rokov pred n. l. Zachovalo sa veľké množstvo tabuliek, ktoré sú uložené na rôznych miestach na svete, z toho tabuliek s matematickými úlohami bolo rozlúštených asi 400. Najväčší záujem bol o úlohy z praktickej aritmetiky, merania pomerne jednoduchých útvarov a neskôr astronómie [H-Bečvář a kol, 2003].

K vypočítaniu obsahu kruhu S (Obr. 2) používali babylonskí matematici vzťah, ktorý môžeme v našej symbolike zapísať:
,
kde o je obvod kruhu, ktorý bol počítaný pomocou vzorca: o = π.d ,v ktorom π je konštanta. Zaujímavé je, že Babylončania obyčajne pracovali s hodnotou π = 3, ale existuje aj doklad z konca starobabylonského obdobia, že sa používala aj aproximácia π = 3,125 .

Objem valca V počítali "štandardným spôsobom", t. j. vynásobili obsah podstavy S výškou telesa h. Ak použijeme hodnotu π=3, môžeme vzorec na výpočet objemu valca z tej doby odvodiť takto:
.


Obr. 2: Jedna z najstarších babylonských tabuliek o geometrii (výpočet obsahu kruhu) nájdená v meste Susa (Irán) [H-Bečvář a kol, 2003]

Na rozdiel od zachovaných egyptských textov, v babylonských zápisoch nájdeme aj úlohy vypočítať objem zrezaného kužeľa. Ten počítali podľa vzťahu:
,
kde o1, o2 sú obvody, S1, S2 sú obsahy podstáv a h je výška. O iných telesách, resp. úlohách na výpočet objemu alebo povrchu nie je zatiaľ známy záznam.

Čína

Najstaršie správy o čínskej matematike sú z polovice druhého tisícročia pred n. l. a týkajú sa predovšetkým skúmania kalendára. Výpočty zodpovedajúce problémom s delením roku na malé a veľké mesiace, či s dĺžkou lunárneho a tropického roku, predpokladali dobré aritmetické vedomosti. Napriek tomu, však až do začiatku nášho letopočtu nemáme dostatočne podrobné údaje o vývoji čínskej matematiky. Prvé zachované čisto matematické dielo je „Matematika v deviatich knihách“. Obsahuje bohatý súhrn vedomostí, ktoré charakterizujú stav matematiky 200 rokov pred n. l. [H-Hudeček, 2008].

V prvej kniheMatematiky v deviatich knihách“ sa nachádzajú pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov, medzi inými aj kruhu, kruhového výseku, odseku a medzikružia (Obr. 3). Ak označíme d priemer kruhu a o jeho obvod, môžeme v dnešnej symbolike zapísať čínsky spôsob počítania obsahu kruhu S takto:
.


Obr. 3:
Ilustrácia výpočtu obsahu kruhu z prvého vydania Deviatich kapitol. [H-Hudeček, 2008]

Pri výpočtoch o obsahu kruhu používali hodnotu π=3. Táto istá hodnota sa vyskytuje aj pri výpočtoch objemov valca, kužeľa a zrezaného kužeľa. Vzorce na výpočet objemov týchto telies môžeme zapísať:

Valec:
Kužeľ:
Zrezaný kužeľ:

Pri výpočtoch objemu gule sa používala hodnota , a vzorec na výpočet objemu gule môžeme zapísať takto:
.

India

Matematika sa v starovekej Indii považovala za jednu z najdôležitejších vied [H-Juškevič,1977]. Najstaršie poznatky o indickej matematike siahajú do obdobia vzniku posvätných nábožensko-filozofických kníh „Vedomosti“. Najstarším dielom v súvislosti s matematikou bolo „Šalvasútra“ – Matematika v knihách, ktoré vzniklo v 7. – 5. storočí pred n. l. a obsahuje geometrické konštrukcie a výsledky niektorých výpočtov.

V súvislosti s poznatkami o kruhu a niektorých rotačných telesách je významné dielo „Árjabhattíja“ z roku 499 (veršovaný astronomický a matematický traktát), ktorého autorom bol 23 ročný Árjabhatta I. Popri niektorých dômyselných postupoch v tomto diele uviedol aj pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov a objemov telies. Zaujímavá je závislosť medzi obsahom kruhu S, jeho obvodom o a priemerom d: a aj nesprávny vzorec pre výpočet objemu gule , ktorý je vyjadrený pomocou obsahu S hlavného kruhu (Pozn: kruh na guli so stredom v jej strede, napr. na zemeguli je to rovník a každý poludník). Podľa tohto vzťahu by bola hodnota ale bezprostredne po tom je uvedená aproximácia dĺžky kružnice na príklade: „dĺžka kružnice s priemerom 20 000 je 62 832“, a teda použitá hodnota π sa od presnejšej hodnoty (3,14159...) líši iba o 0,000 01.

Vzorec na výpočet objemu gule, bol po Árjabhattovi neskôr značne vylepšený a opravený, čo viedlo aj k presnejšej aproximácii hodnoty π. Uvedieme niektoré vyjadrenia:
, hodnota (Bháskara I) ,
hodnota (Mahávíra),
hodnota (Šrídhara, Árjabhatta II, ktorý ako prvý uviedol aj vzťah na výpočet povrchu gule, ktorý vyjadril ako súčin obvodu hlavnej kružnice s priemerom).

Matematici tej doby poznali aj približné vzorce na výpočet obsahu kruhového odseku avšak o vzorcoch na výpočet objemov a povrchov iných rotačných telies nie je záznam.

Antické Grécko

Významný kvalitatívny zlom v porovnaní s matematikou v starovekom Egypte a Mezopotámií nastal v antike, kedy na pobreží Malej Ázie začala byť matematika vedou. Na rozdiel od egyptských, či babylonských matematikov, ktorí sa zaoberali problémami len aby riešili nejakú praktickú úlohu, Gréci chceli problémom rozumieť a vniesli do štúdia matematiky špekulatívny a abstraktný spôsob myslenia.

Kým predgrécka matematika bola prevažne aritmetická a výpočtová, v Grécku došlo ku jej geometrizácii a všetky úlohy sa riešili využívaním poznatkov elementárnej geometrie. Ranné obdobie gréckeho myslenia začína Milétskou školou, ktorej zakladateľom a najvýznamnejším predstaviteľom bol TÁLES, ktorý geometrické poznatky priniesol z Egypta a patril medzi prvých učencov, ktorí svoje tvrdenia (elementárnej geometrie) dokazovali logickou argumentáciou. Predmetom záujmu gréckych matematikov boli prevažne konštrukcie a vlastnosti pravidelných mnohouholníkov, niektorých pravidelných mnohostenov a v súvislosti s teóriou plôch je potrebné uviesť, že iné plochy než rotačné neboli predmetom ich štúdia.

V nasledujúcom texte sa uvedú tie osobnosti, ktoré významne prispeli do štúdia danej problematiky (obvod a obsah kruhu, vyčíslenie hodnoty π, povrchy a objemy rotačných telies, vlastnosti rotačných plôch).

HIPPOKRATES (460 – 370 pred n. l.; popredný geometer z Atén)
Dokázal, že pomer obsahov dvoch kruhov je rovný pomeru druhých mocnín ich priemerov:  S1:S2=d12:d22.

K tomuto výsledku sa dopracoval pravdepodobne tak, že do oboch kruhov vpísal pravidelné mnohouholníky a potom „vyčerpával“ plochy kruhov postupným zväčšovaním počtu vrcholov týchto mnohouholníkov.

DEMOKRITOS Z ABDÉR (asi 460 – 370 pred n. l.; predstaviteľ atomistov)
Pri určovaní objemov a obsahov vychádzal z toho, že body sú priestorové atómy, ktoré majú konečný objem. Predstavoval si, že telesá sú zložené z „rovnobežných dosiek“ vysokých jeden atóm. Z toho usudzoval, že dve telesá zložené z rovnakých „doštičiek“ v rovnakých výškach od podstavy majú rovnaký objem. Tento princíp podrobnejšie rozpracoval v 17. storočí CAVALIERI.

Demokritos vedel, že trojboký ihlan je možné doplniť na hranol s rovnakou podstavou a výškou. Tento hranol sa skladá z troch rovnakých trojbokých ihlanov. Preto objem trojbokého ihlana je rovný jednej tretine objemu hranola s rovnakou podstavou a výškou. Demokritos zovšeobecnil toto tvrdenie na ihlany a hranoly s mnohouholníkovými podstavami. Pretože kruh bol pre neho mnohouholníkom, ktorého každú stranu tvorili iba dva atómy, kužele boli potom ihlany a kruhové valce hranoly s veľkým počtom podstavných hrán a zovšeobecnil túto vlastnosť aj pre kužeľ a valec.

ARCHYTAS Z TARENTU (asi 428 – 365 pred n. l.; politik, učenec, pytagorejský filozof, priateľ PLATÓNA, učiteľ EUDOXA, autor niektorých matematických fundamentálnych prác a aplikácií výsledkov v hudbe, astronómii a mechanike. Jeho výsledky z aritmetiky a teórie čísel možno nájsť v VIII. Knihe Euklidových Základov).
V riešení delského problému o zdvojnásobení kocky použil tri rotačné plochy: rotačnú valcovú plochu, anuloid a rotačnú kužeľovú plochu (prienik valcovej plochy s anuloidom je v danom prípade tzv. Archytova krivka.

EUDOXOS Z KNIDU (asi 408 – 355 pred n. l.; lekár, matematik, hvezdár a filozof, zdokonalil elementárnu geometriu, tvorca teórie o nebeských sférach, ktoré sa točia v sústredných kruhoch okolo nepohyblivej Zeme.)
Rozpracoval metódu, ktorú nazývame Eudoxova vyčerpávajúca (exhaustačná) metóda a je založená na nekonečnom delení veličiny. Týmto spôsobom napr. dokázal, že obsah kruhu je možné s ľubovoľnou presnosťou aproximovať obsahom pravidelného mnohouholníka vpísaného do tohto kruhu.

EUKLIDES (žil okolo r. 300 pred n. l. v Alexandrii; autor najslávnejšieho diela matematickej histórie – Základy, jeden z najväčších matematikov v celých dejinách.)
V dvojzväzkovom diele Miesta na plochách sa pravdepodobne zaoberal vytvorením rotačných plôch (rotačná valcová a kužeľová plocha, možno aj rotačný elipsoid, paraboloid a hyperboloid) a existenciou niektorých kriviek na nich (kužeľosečky, skrutkovice, špirály, a pod.) V Základoch okrem iného Euklides odvodil pomocou exhaustačnej metódy niektoré tvrdenia týkajúce sa porovnávania obsahov alebo objemov útvarov:

  • Pomer obsahov dvoch kruhov je rovnaký ako pomer druhých mocnín polomerov týchto kruhov.
  • Pomer objemov dvoch valcov s rovnakou výškou je rovnaký ako pomer druhých mocnín polomerov podstáv týchto valcov.
  • Pomer objemov dvoch gulí je rovnaký ako pomer tretích mocnín polomerov týchto gulí.

Všetky uvedené tvrdenia sa týkajú porovnávania obsahov alebo objemov dvoch útvarov a nie ich výpočtu.

ARCHIMEDES (287 – 212 pred n. l., Syrakúzy; vynikajúci matematik, vrcholný vedec a technik /mechanika, hydrostatika, astronómia/ i praktický realizátor technických vynálezov.)
V spise O metóde sa venoval o. i. výpočtom objemov rotačných telies a ich častí. Dokázal, že objem rotačného valca opísaného guli (resp. rotačnému elipsoidu) sa rovná 3/2 – násobku objemu gule (resp. elipsoidu), odvodil výsledky pre objemy odsekov rotačných telies rovinou kolmou na os pre guľu, rotačný elipsoid, paraboloid i rotačný dvojdielny hyperboloid, určil objem rotačného valca a telesa, ktoré z neho oddelí rotačný valec s tým istým polomerom, osou rôznobežnou s osou daného valca a na ňu kolmou. V spise O valci a guli Archimedes dokázal, že i pomer prvkov rotačného valca (opísaného guli) a tejto gule sa rovná 3:2. Tento výsledok bol na Archimedovo želanie vytesaný do jeho náhrobného pomníka. Píše o ňom CICERO, ktorý našiel podľa toho spustnutý hrob roku 75 pred n. l., keď pôsobil ako kvestor Sicílie v Syrakúzach. Výpočtom objemov a prvkov telies a ich obsahov je venovaný i spis O konoidoch a sféroidoch (takto nazval Archimedes regulárne nepriamkové plochy druhého stupňa /pravouhlý konoid je rotačný paraboloid, tupouhlý konoid je rotačný dvojdielny hyperboloid a sféroid je predĺžený alebo sploštený elipsoid/).

APOLLOINOS (okolo 262 pred n. l. – 190 pred n. l., Alexandria – vrcholný matematik a vynikajúci astronóm svojej doby.)
Najvýznamnejším Apolloniovým dielom sú Kužeľosečky. U Apollonia sa regulárne kužeľosečky objavili po prvý raz ako rovinné rezy ľubovoľnej úplnej kužeľovej plochy nevrcholovými rovinami, ktoré nemajú špeciálnu polohu vzhľadom na žiadnu tvoriacu priamku plochy.

HIPPARCHOS (asi 190 pred n. l. – asi 125 pred n. l. – najväčší astronóm antiky, astronomické poznatky uplatnil v geografii, kde zaviedol pojmy zemepisnej šírky a dĺžky.)
Podľa výpovedí nasledovníkov vynašiel stereografickú projekciu guľovej plochy, čo je stredový priemet guľovej plochy z jej bodu do dotykovej roviny plochy v bode, ktorý je súmerne združeným bodom plochy so zvoleným stredom premietania podľa stredu plochy. Hipparchove výsledky pretlmočil pravdepodobne PTOLEMAIOS (okolo 85 – okolo 165 n. l.) v spise Planisférium, kde podrobne vysvetlil stereografickú projekciu severnej hemisféry nebeskej sféry z južného pólu do roviny rovníka.


Komentárov
Vyhľadávanie RSS
Len registrovaní užívatelia môžu pridať komentár!

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

 
Ďalší >